Do you know what method uses the roots function?
Look at the areas of attraction to the roots. White color - no solution.

Edited by moderator 02 October 2023 15:12:38(UTC)  | Reason: Not specified

I think the built-in roots function uses a different method than Newton. Which?

Рассмотрел данную систему в зависимости от задаваемой точности. Красным цветом обозначил точки, которые выходят в NaN, зеленным цветом точки, которые дают хоть одно решение. Часть решений показал желтыми линиями. При повышении точности "белые" области увеличиваются. Это те области, в которых при заданном числе шагов вычислений, не достигается никакого результата.
[ENG]
I considered this system depending on the specified accuracy. In red, I marked the points that go to NaN, in green, the points that give at least one solution. Some of the solutions were shown with yellow lines. As the accuracy increases, the "white" areas increase. These are the areas in which, with a given number of computational steps, no result is achieved.
[ENG]
Анимация polv1i.mov (1,891kb) downloaded 4 time(s).

Спасибо за статью.
Если мы говорим о алгебраическом многчлене f(z)=aₙ*zⁿ+..+a₁*z+a₀=0, aᵢ=const i=0..n
zᵢ=bᵢ+i*cᵢ - i-ый корень уравнения, (bᵢ, cᵢ) искомые вещественные и мнимые части i-корня.
При подстановке и последующей группировки решаем систему из 2-х уравнений Re(f(z))=0 и Im(f(z))=0

Я не вникал глубоко в решение систем с большим n. Мне кажется при нахождение корня с приемлемой точностью,
проверяется его кратность, является корнем его сопряжение, и затем исходный многочлен делится на решение,
степень опускается и снова ищутся корни многочлена меньшей степени.

Для уравнения z^3-5*z^2-1.5=0, после замены z=a+b*i
-3*a*b^2-5*(a^2-b^2)+a^3-1.5=0
-b^3+3*a^2*b-10*a*b=0
Я использую метод Драгилева для решения нелинейных уравнений. Добавлем новую переменную n и константы,
которые будут зависеть от начального положения, то есть уравнение будет
f1(z,n)=z^3-5*z^2-1.5+(a0+a1*i)*n=0, n=1, a0 и a1 такие что при z0=a0+b0*i f1(z0,1)=0
-3*a*b^2-5*(a^2-b^2)+a^3-1.5+a0*n=0
-b^3+3*a^2*b-10*a*b+a1*n=0

Что касается полюсов, областей устойчивости, все это сложная вещь, связанная с правой частью ду
Для уравнений (я ввел дополнительный параметр n)
(x^2+y^2)^2-2*(x^2-y^2)+a0*n-3=0
((x-.5)^2+(y-.5)^2)^2-8*((x-.5)^2-(y-.5)^2)+a1*n=0
Система ду будет следующая
dx/dt = ( -2.0e+1*a0*y+-4.0*a0*(x*x)*y+-4.0*a0*(y*y*y)+9.0e+0*a0+4.0*(x*x)*a1*y+6.0e+0*a0*(y*y)+4.0*a1*(y*y*y)+-2.0*a0*x+2.0e+0*a0*(x*x)+4.0*a1*y+4.0e+0*a0*x*y);
dy/dt = ( 2.0*a0*y+-4.0*(x*x*x)*a1+7.0e+0*a0+-2.0e+0*a0*(y*y)+4.0*x*a1+4.0*a0*x*(y*y)+-1.2e+1*a0*x+-6.0e+0*a0*(x*x)+-4.0*x*a1*(y*y)+4.0*a0*(x*x*x)+-4.0e+0*a0*x*y);
dn/dt = ( 4.0e+0*x*(y*y)+-2.0e+1*(y*y*y)+-8.0*(y*y)+9.6e+1*x*(y*y*y)+8.0e+0*((x*x)*(x*x))*y+-8.0e+0*(x*(x*x)*(x*x))+8.0*((x*x)*(x*x))+-3.2e+1*x*y+-8.0*(x*x)+3.6e+1*x+1.2e+1*(x*x)*y+-2.8e+1*(x*x*x)+-1.6e+1*(x*x*x)*(y*y)+1.6e+1*(x*x)*(y*y*y)+9.6e+1*(x*x*x)*y+-8.0e+0*x*((y*y)*(y*y))+-2.8e+1*y+8.0e+0*(y*(y*y)*(y*y))+-8.0*((y*y)*(y*y)));